\documentclass[10pt,a4paper]{article} 

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%%文档的题目、作者与日期
\author{五六七}
\title{常微分方程第4周作业（复习第1-2章）}

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\begin{document}

\maketitle

%\abstract{第1章第1-2节，第2章第2、3、4、6节。}

\noindent\rule{14cm}{0.4pt}

\begin{enumerate}
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\item  
验证 $y=\frac{\sin x}{x}$ 是否为微分方程 $x\frac{dy}{dx}+y=\cos x$ 的解。

%-----------------------------------------------------
\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item 求导可得 $$y'=\frac{x\cos x - \sin x}{x^2}.$$ 
\item 代入验证可得左边等于 
$$xy'+y=x\frac{x\cos x - \sin x}{x^2}+\frac{\sin x}{x} = \cos x. $$
\item 因此这个函数是所给微分方程的解。
\end{enumerate}    
}

\vspace{0.2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item  
求解柯西问题 $\frac{dy}{dx}=-3y, y(0)=2$. 

%-----------------------------------------------------
\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item 分离变量可得 $\frac{dy}{y}=-3dx.$
\item 两边积分可得 $\ln |y| = -3x+C.$
\item 代入初值，可得当 $C=\ln 2$. 
\item 经过点 $(0,2)$ 的解函数为 $\ln y = -3x+\ln 2.$
\item 化简可得 $y=2e^{-3x}.$
\end{enumerate}    
}

\vspace{0.2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item  
作出 $\frac{dy}{dx}=x-y$ 的线素场。

%-----------------------------------------------------
\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item 选取$xy$平面的一些点 $(x_m,y_n)$.
\item 计算 $f(x_m,y_n)$.
\item 以 $k=f(x_m,y_n)$为斜率，以$(x_m,y_n)$为中心，作一条短折线。
\end{enumerate}    
}

\vspace{0.2cm}

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\item  
求解微分方程 $\frac{dy}{dx}=1+x+y^2+xy^2$. 

%-----------------------------------------------------
\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item 右边分解因式，可得 $\frac{dy}{dx}=(1+x)(1+y^2).$ 
\item 分离变量可得 $\frac{dy}{1+y^2}=(1+x)dx.$
\item 两边积分可得 $\arctan y=x+\frac{1}{2}x^2+C.$
\item 化简可得 $y=\tan(x+\frac{1}{2}x^2+C).$
\end{enumerate}    
}

\vspace{0.2cm}

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\item  
求解微分方程初值问题 $xdx+ye^{x}dy=0, y(0)=1$.

%-----------------------------------------------------
\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item 分离变量可得 $ydy = -xe^{-x}dx.$
\item 两边积分可得 $\frac{1}{2}y^2=(x+1)e^{-x}+C$. 
\item 代入初值条件 $y(0)=1$ 可得 $C=\frac{1}{2}.$
\item 化简可得解函数为 $y=\sqrt{2(x+1)e^{-x}+2}.$
\end{enumerate}    
}

\vspace{0.2cm}

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\item  
求解微分方程 $\frac{dy}{dx}=1-y^2$, 并作出积分曲线族。

%-----------------------------------------------------
\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item 分离变量可得 $\frac{dy}{1-y^2}=dx$. 
\item 两边积分可得，当 $|y|<1$ 时，$\ln(1+y)-\ln(1-y)=2x+C_1$. 
\item 化简可得 $$y=\frac{-1+Ce^{2x}}{1+Ce^{2x}}.$$
\item 积分曲线：在 $xy$平面的 $|y|<1$ 区域内，画出上述函数的图像。
\item 在 $y>1$ 的区域，写出 $y=y(x)$ 的函数表达式，并画出图像。
\item 在 $y<-1$ 的区域，写出 $y=y(x)$ 的函数表达式，并画出图像。
\item $y=\pm 1$ 是两个特解。
\end{enumerate}    
}

\vspace{0.2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item  
求解线性微分方程 $\frac{dy}{dx}+y = x$. 

%-----------------------------------------------------
\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item 两边乘以积分因子$u=e^x$可得 $(e^xy)'=xe^x$.
\item 两边积分可得 $e^xy=(x-1)e^x+C$. 
\item 求得解函数为 $y=x-1+Ce^x$. 
\end{enumerate}    
}

\vspace{0.2cm}

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\item  
求解线性微分方程 $\frac{dy}{dx}+y\tan x = \sin x$. 

%-----------------------------------------------------
\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item 两边乘以$\cos x$可得 $y'\cos x + y\sin x = \sin x \cos x$.  
\item 根据商的求导公式，以及上述微分方程，可得
$$ \left(\frac{y}{\cos x} \right)' = \frac{y'\cos x + y\sin x}{\cos^2x} = \frac{\sin x\cos x}{\cos^2x}=\frac{\sin x}{\cos x}.$$ 
\item 两边积分可得 $$\frac{y}{\cos x} = \ln |\cos x|+C. $$
\item 求得解函数为 $$y=\cos x (\ln|\cos x|+C). $$
\end{enumerate}    
}

\vspace{0.2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item  
求解微分方程 $\frac{dy}{dx}=\frac{2y-x}{2x-y}$.

%-----------------------------------------------------
\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item 设 $y=ux$ 可得 $$u+x\frac{du}{dx} = \frac{2ux-x}{2x-ux}=\frac{2u-1}{2-u}.$$
\item 化简可得 $$x\frac{du}{dx}=\frac{u^2-1}{2-u}.$$
\item 分离变量可得 $$\frac{2-u}{u^2-1}du=\frac{dx}{x}. $$
\item 有理函数化为部分分式可得 $$\left[\frac{1}{2(u-1)}-\frac{3}{2(u+1)}\right]du=\frac{dx}{x}.$$
\item 两边积分可得 $$\frac{1}{2}\ln|u-1|-\frac{3}{2}\ln|u+1|=\ln |x|+C. $$
\item 化简可得 $$\frac{|u-1|}{|u+1|^3}=Cx^2. $$
\item 代入 $u=y/x$ 可得 $$\frac{|y-x|}{|y+x|^3}=C. $$ 
\item 检验可知 $y=-x$ 也是解。
\end{enumerate}    
}

\vspace{0.2cm}

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\item  
求解微分方程 $(3uv+v^2)du+(u^2+uv)dv=0$.

%-----------------------------------------------------
\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item 设 $u=zv$, 则 $du=zdv+vdz$. 
\item 原方程化为 $(3zv^2+v^2)(zdv+vdz)+(z^2v^2+zv^2)dv=0. $
\item 化简可得 $(4z^2+2z)dv +(3z+1)vdz=0. $
\item 分离变量可得 $$\frac{dv}{v} = -\frac{3z+1}{4z^2+2z}dz. $$
\item 类似上一题，有理函数积分可得。
\item 最后解答为 $2u^3v+u^2v^2=C$. 求简便方法。
\end{enumerate}    
}

\vspace{0.2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item  
求曲线族 $y^2=Cx^3$ 的正交轨线族。

%-----------------------------------------------------
\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item 两边微分可得 $2ydy = 3Cx^2dx$. 
\item 代入 $C=y^2/x^3$ 可得这族曲线的微分方程为 $\frac{dy}{dx}=\frac{3y}{2x}$.
\item 所以正交轨线族的微分方程为 $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{3y}$. 
\item 分离变量可得 $3ydy = -2xdx.$
\item 两边积分可得 $\frac{3}{2}y^2 = -x^2+C$.
\item 化简可得 $2x^2+3y^2=C$. 
\end{enumerate}    
}

\vspace{0.2cm}

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\item  
求与曲线族 $y=x\ln(Cx)$ 相交成 $\frac{\pi}{4}$ 的曲线族。

%-----------------------------------------------------
\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item 两边微分可得 $y'=\ln(Cx)+1$.
\item 根据原方程可得 $\ln(Cx)=y/x$, 因此原曲线族的微分方程为 $y'=\frac{y}{x}+1$. 
\item 设所求曲线族的斜率为 $k=k(x,y)$. 
\item 和差角度的正切公式为 $$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}.$$
\item 因此有 $$\tan\frac{\pi}{4}=\frac{k-y'}{1+ky'}.$$
\item 求得 $$k=\frac{1+y'}{1-y'}.$$
\item 代入 $y'=\frac{y}{x}+1$ 可得 $\frac{dy}{dx}=k=\frac{2x+y}{y}.$ 然后积分可得所求曲线族。
\item 当 $\tan\frac{-\pi}{4}=\frac{k-y'}{1+ky'}$ 时类似计算。
\end{enumerate}    
}

\vspace{0.2cm}

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\end{enumerate}

\end{document}

